Adventskalender 2020

I fjor la FagKom ut en liste med ulike forslag til bøker og tekster man kunne lese i juleferien, og vi utvider litt på dette konseptet i år! Det blir masse kult man kan lese og se på, og alt kommer i en form av en adventskalender. Det vil altså bli lagt ut en faglig ting hver dag, i form av en video, en artikkel, en fun fact, en meme, eller gjennom andre former. Alle disse kommer til å være relatert til en forhåndsutvalgt artikkel, og det vanker heder og ære, og kanskje en premie til de(n) som gjetter hvilken artikkel det er. Det vil også komme noen hint i løpet av kalenderen som forhåpentligvis gjør det mulig å finne frem til riktig artikkel.

Luke 24

Gjennom hele måneden så langt har vi hatt en pågående konkurranse sammen med en adventskalender! Oppgaven var å finne ut av hvilken artikkel vi har hentet alle de faglige tingene fra gjennom kalenderen. Hver av de 20 ulike faglige tingene vi har publisert har altså en eller annen tilknytning til en artikkel, og vi har også gitt noen hint til hvordan man kan finne den

Kalenderkonkurransen er nå over og det er på tide å annonsere hvilken artikkel vi var ute etter og hvorfor den er kul. Så, uten å si noe mer så heter artikkelen “Physics, topology, logic and computation: A Rosetta stone”.

Artikkelen er skrevet av matematisk fysiker John Baez og matematiker/informatiker Mike Stay. Fokuset til artikkelen er mer oversikt, sammenkobling og eksposisjonsbasert. Artikkelen kobler samme mange tilsynelatende disjunkte ideer til en felles formalisme, kalt flettede monoidale lukkede kategorier. Dette gir innsikt i at mange ulike fagfelt egentlig bruker de samme teknikkene uten å nødvendigvis vite det. Alt oppsummeres i en såkalt Rosettastein (avbildet under) som forteller oss hvordan vi kan oversette mellom de ulike fagfeltene. Artikkelen er noe teknisk og har en del vanskelige deler, men den er overkommelig for den dedikerte.

Du kan lese artikkelen her: https://arxiv.org/abs/0903.0340

Luke 23

Det er både lille lørdag og lille juleaften, så for å kompensere finner vi noe stort under luke 23, nemlig universet!

En av de større oppgavene i fysikken er å finne ut hvordan universet ser ut som en helhet, altså hvordan universets geometri er. Det er flere ulike forslag, men vi har enda ikke et definitivt svar per i dag. Flere ulike observasjoner og analyser har konkludert med at universet hvertfall er tilnærmet flatt lokalt, men dette sier oss desverre ikke mye om hvordan universet ser ut som en helhet. Kanskje kommer vi heller aldri til å ha et definitivt svar uten å kunne observere universet fra utsiden.

For å få et lite innblikk i de ulike forslagene for universets geometri har vi lagt ved en veldig enkel introduksjonsvideo, en mer grafisk forklarende video av de mulige ulike geometriene samt to forklarende artikler.

Luke 22

Under luke 22 finner vi noe både matematikere og fysiker tar seg bruk av veldig ofte, nemlig tensorproduktet!

Tensorproduktet er en matematisk konstruksjon for å omgjøre en multilineær transformasjon fra et kartesisk produkt AxB av vektorrom til et annet vektorrom C om til en lineær transformasjon fra et nytt objekt, som vi kaller tensorproduktet av A og B, til C. Fysikere bruker ofte tensorer for å regne på ulike ting, og tensorer er nettopp elementer i et slikt tensorprodukt.

For å få en liten introduksjon til denne konstruksjonen har vi lagt ved en kort introduksjonsvideo (denne inneholder også ytre produkt og symmetrisk produkt), en til video fra et litt mer fysikk-perspektiv, en introduksjonsartikkel, samt en mer rigorøs introduksjonsartikkel.

Luke 21

Under luke 21 finner vi noe som kanskje burde ha kommet tidligere i kalenderen, nemlig mangfoldigheter!

Vi har allerede sett på kobordismer i luke 9 som egentlig krever at vi vet hva en mangfoldighet er.. Menmen, det er aldri for sent å lære. Mangfoldigheter er en av de viktigste objektene som studeres i fagfeltet topologi, og de er også mye brukt i fysikk, kybernetikk, maskinlæring og mange andre felter. En mangfoldighet kan beskrives som den matematiske abstraksjonen av det vi kjenner som overflater og figurer i den virkelige verden.

For å lære litt om disse viktige matematiske objektene har vi lagt ved en enkel introduksjonsvideo om definisjonen og koblingen med glatte funksjoner, en enkel artikkel sett fra et mer ikke-matematisk standpunkt, samt en litt mer rigorøs introduksjonsartikkel, med gode illustrasjoner og spørsmål man kan tenke på.

Luke 20

Det er fjerde og siste søndag i advent, og som de andre betyr dette at vi skal gi et nytt hint om hvilken artikkel vi er ute etter i adventskonkurransen!

Hintet er at en del av tittelen på artikkelen er tatt fra en utrolig viktig historisk oppdagelse. Oppdagelsen ble gjort av noen av Napoleons ingeniører under en av besøkene til Egypt rett før det 19 århundre. Oppdagelsen er en gjenstand, laget i 196 f.v.t. bestående av en tekst om Egypts daværende hersker Ptolemaios den femte. Teksten på gjenstanden er skrevet på tre skriftspråk; Hieroglyfer, demotisk og gresk. Oppdagelsen gjorde at man endelig fikk dechiffret Hieroglyfene, noe som gjorde at man kunne studere oldtidens egyptiske tekster og primærkilder.

Luke 19

Under luke 19 finner vi noe som egentlig ikke eksisterer, men som likevel eksisterer nok til å påvirke virkeligheten, nemlig virtuelle partikler!

Vi har tidligere fått en liten introduksjon i kvantefeltteori. Dette er felter som strekker seg over hele universet, og der partikler er kvantiserte eksitasjoner i disse feltene. På grunn av Heisenbergs usikkerhetsprinsipp er energitilstanden til et punkt på et slikt felt noe usikkert, og det dukker dermed opp små fluktueringer i feltene, som oppfører seg som partikler som eksisterer kun i veldig korte tidsrom. Virtuelle partikler er mye brukt for å gjøre forskjellige kalkulasjoner i kvantefeltteorien enklere og er brukt for å ha en mer lettvint forklaring på for eksempel Hawking stråling.

For å få litt innsikt i disse rare fenomenene har vi lagt ved en forklarende video og en introduksjonsartikkel. Så har vi lagt ved en artikkel som forklarer hvorfor de ikke er ekte, samt til slutt en artikkel om hvordan de likevel kan påvirke verden.

Luke 18

Eksamensperioden nærmer seg slutten, og under luke 18 finner vi noe mange kanskje kunne hatt bruk for under en eksamen, nemlig bevisassistenter!

En bevisassistent er et dataprogram der man kan kode matematisk formalisme på en slik måte at programmet kan sjekke de logiske stegene i et bevis du har laget, eller hjelpe deg å bevise en påstand ved hjelp av en database av tidligere beviste påstander. Det finnes flere ulike slike programmer, ofte laget for å bruke ulike typer logikk og typer beviser. Per i dag inneholder biblioteket til den kanskje mest kjente av de, kalt Lean, intet mindre en 20120 definisjoner og 43460 teoremer som alle som vil kan ta seg bruk av!

For å få en liten innsikt i denne fantastiske verden av samspill mellom maskiner og matematikere har vi lagt ved en artikkel om Lean og en artikkel om hvor langt unna datamaskiner er fra å stjele jobben til matematikere. Til sist har vi lagt ved en artikkel som beskriver formaliseringen av Peter Scholzes perfektoide rom i Lean, et samarbeidsprosjekt for å vise at bevisassistenter kan håndtere de mest abstrakte og kompliserte definisjonene i matematikken.

Luke 17

Under luke 17 finner vi noe som bare ganske nylig har blitt bekreftet at eksisterer, nemlig anyoner!

Dette er eksempler på såkalte kvasi-partikler, som er en slags felles oppførsel av et større system av partikler. Et eksempel er det man betegner som hull i en halvleder. I dette tilfellet oppfører mangelen på noe i systemet seg som en partikkel, og vi kaller denne kvasi-partikkelen for et elektron hull. Anyoner er 2-dimensjonale kvasi-partikler, og har dermed muligens noen andre egenskaper en det vi er vandt med. Anyoner kan (potensielt) brukes til å konstruere topologiske kvantedatamaskiner, der den interne logikken som brukes er bygget på hvordan anyoner oppfører seg.

Vi har lagt ved en artikkel om deres observering tidligere i år samt en rigorøs artikkel om de med mange fine illustrasjoner.

Luke 16

Under luke 16 finner vi et ganske moderne og abstrakt konsept, nemlig speilsymmetri!

Denne teorien startet som en teori for å beskrive hvordan to objekter kan være like i strengteori, så altså en teori i fysikken, men har utviklet seg til å bli en viktig del av matematikk også. Altså er det et eksempel på en teori der matematikere tok inspirasjon fra fysikere for å bygge en teori som løste flere ukjente matematiske problemer. I dag er speilsymmetri et aktivt forskningsområde i både teoretisk fysikk og matematikk, og det er problemer, slik som den homologiske speilsymmetri formodningen, som er ansett som utrolig viktige åpne problemer i matematikken.

For å få et lite innblikk i denne moderne teorien har vi lagt ved en litt populærvitenskapelig artikkel om speilsymmetri, samt en historisk artikkel om hvordan matematikere og fysikere sammen har fått denne teorien til å blomstre.

Luke 15

Under luke 15 finner vi monader!

Dette er en struktur som ofte blir brukt i programmering, men som de fleste kanskje ikke vet har en rigorøs (og ganske abstrakt) matematisk betydning. Når man skriver kode i visse språk er det ofte man bruker veldig lik kode mange ganger for å gjøre nesten de samme tingene. Monader kan hjelpe med å fjerne slike repetative kodesnutter som gjør nesten det samme ved å innføre et slags nytt lag med abstraksjon.

Vi har lagt ved en introduksjonsvideo som forklarer programmeringsdelene av monader, en veldig fin introduksjonsartikkel til funktorer og monader i programmering og en mer overblikksartikkel for både matematikken og programmeringen (med mange eksempler). Til sist har vi lagt ved en artikkel som forklarer den mest abstraherte matematiske formalismen. Denne krever noen forkunskaper om kategorier, muligens utover de vi fant under luke 5.

Luke 14

Det er ny mandag, og tid for å åpne en ny luke. Under luke 14 finner vi enda mer knuteteori!

Sist lærte vi litt grunnleggende prinsipper i knuteteorien, slik som Reidemester forflytningene og trefargedhet av knuter. Denne gangen fokuserer vi litt mer på fysikken, og hvor knuteteori dukker opp der.

Knuteteori har nemlig anvendelser i kvantefysikk, som man får et lite innblikk i gjennom den første vedlagte artikkelen (skrevet av Edward Witten). Den andre artikkelen er skrevet av NTNUs egne Nils Baas og prøver å forklare hvordan man muligens kan danne slags høyere ordens bånd mellom partikler ved bruk av knuter!

Luke 13

Det er tredje søndag i advent, og som den første er det tid for å gi et nytt hint til hvilken artikkel vi leter etter i konkurransen!

Hintet er at artikkelen vi er ute etter er første kilde på wikipedia-artikkelen til en av konseptene vi har funnet under de 13 første lukene

Luke 12

I luke 1 fant vi Feynman diagrammer, og nå 11 dager senere under luke 12 finner vi teorien diagrammene prøver å simplifisere, nemlig veiintegraler!

Denne formalismen er også laget av Feynman, men den er bygget på teori laget av mange andre i tillegg. Man ønsker i kvantemekanikken å finne ut hvordan egeskapene, slik som posisjon, til en partikkel utvikler seg over tid. Veiintegraler løser dette ved å finne sannsynligheten til at en partikkel beveger seg fra et sted til et annet i fremtiden ved å integrere over alle veiene partikkelen kunne tatt for å komme seg dit.

For å få en introduksjon til denne teorien har vi lagt ved en video som forklarer teorien samt notatene fra foredraget som ble holdt om temaet i FagKoms fysikklubb nå i høst

Luke 11

Under luke 11 finner vi det som ofte omtales som grunnen til at topologer får holde på med grunnforskning, nemlig knuteteori!

Knuteteori er nemlig anvendbart i det medisinske fagfeltet, ettersom knuter forekommer i DNA, og brukes derfor ofte som en rettferdiggjøring til å drive med abstrakt topologi. Men, med det sagt så er teorien i seg selv også veldig kul, men dessverre ikke mye undervist på universiteter.

For å gjøre leseren kjent med denne kule teorien har vi lagt ved litt forskjellige saker. Den første lenken er en introduksjonsartikkel som gir en oversiktelig overflate-introduksjon. Den andre et bevis på at det faktisk eksisterer knuter. Den tredje er en introduksjonsvideo mens den fjerde er en artikkel mer om koblingen til DNA og andre anvendelser.

Luke 10

Under luke 10 finner vi noe som har gjort livet lettere for fysikere i lang tid, nemlig operatorer!

Operatorer går hånd-i-hånd med Hilbert-rommene vi fant under luke 2 og brukes ofte for å formulere en transformasjon matematisk. De fleste møter operatorer i for første gang i lineær algebra som lineærtransformasjoner eller flerdimensjonal analyse som derivasjonsoperatorer, men de dukker også opp i andre former, blant annet når man jobber med kvantemekanikk.

Matematisk sett er det mye struktur å hente i dette mangfoldet av operatorer, noe som er aksiomatisert i strukturen man kaller en C*-algebra. Disse strukturene er ikke bare inspirert av operatorer på Hilbert-rom, de kan også alltid realiseres som operatorer på Hilbert-rom, selv om man definerer dem “abstrakt”.

Dette er blant annet brukt i noen av artiklene vedlagt, der man bruker C*-algebraer til å omformulere kvantemekanikk eller studere CCR-algebraer, som er en struktur som dukker opp i kvantefeltteori. Disse artiklene (punkt 4 og 5) er ganske tekniske, så for å ha med en litt mer grunnleggende introduksjon gjennom to videoer og en transkribert Feynman forelesning om operatorer.

Luke 9

En ting både matematikere og fysikere liker er å klassifisere ulike objekter man studerer. Klassifikasjon kan ses på som en essensiell del av både moderne og tidligere forskning i begge fagfeltene. Det er ikke ofte både matematikere og fysikere er interesserte i de samme objektene, men et eksempel der dette er tilfelle er mangfoldigheter.

Det viser at ganske tekniske grunner seg at det er vanskelig å klassifisere mangfoldigheter opp til kontinuerlige eller glatte isomorfier, så det må introduseres en “svakere type likhet” for å ha en fullstendig klassifisering. Det er nettopp en av disse formene for svakere likhet vi finner under luke 9, og disse kalles kobordismer!

En kobordisme mellom to mangfoldigheter N og M av samme dimensjon er en ny mangfoldighet W av en dimensjon høyere som har den disjunkte unionen av N og M som rand. Ordet kobordisme kommer fra fransk og betyr ca “felles bundet”, som spiller ganske fint inn i definisjonen. En kobordisme kan ses på som en måte å deformere den ene mangfoldigheten til den andre gjennom en slags semi-kontinuerlig prosess. Hele konseptet er kanskje noe enklere å skjønne ved å se på det vedlagte bildet.

Vi kaller to mangfoldigheter kobordante hvis det eksisterer en kobordisme mellom de, og vi kan dermed faktisk klassifisere mangfoldigheter av alle dimensjoner ved å dele de inn i klasser av kobordante mangfoldigheter.

For en liten (men noe avansert desverre) introduksjon til kobordismer kan man lese følgende forelesningsnotater: Lecture notes on cobordisms

Luke 8

Under luke 8 finner vi “currying”!

I matematikken, og i informatikken, befinner man seg ofte i situasjoner der man har litt for mange variabler. Currying er en metode for å ta en funksjon av mange variable og produsere en sekvens av funksjoner av kun en variabel. Dette er mye brukt i programmering, men også i kategoriteori, typeteori, lambda kalkulus, algebraisk topologi, logikk og mengdelære!

Som en introduksjon har vi lagt ved en video om currying i Python, som kan være grei for alle som har eller har hatt ITGK, samt en litt mer generell video

Luke 7

Under luke 7 er det vanskelig å finne hva vi har gjemt ettersom det vi har gjemt der er så smått at man ikke kan observere de. Vi har nemlig gjemt strengteori!

Teorien i seg selv er kanskje ikke så liten, men de hypotetiske strengene teorien er bygget på har per dags dato ikke blitt observert grunnet deres størrelse. Teorien studeres fortsatt fordi flere av sammenhengene mellom ulike fagfelt i fysikken naturlig faller ut av den matematiske beskrivelsen av teorien, noe som er veldig pent.

For en enkel introduksjon har vi lagt ved en introduksjonsartikkel og to videoer som forklarer noen ulike og motstående synspunkter på strengteorien, samt hvorfor teorien omtales som pen.

Luke 6

Det er andre søndag i advent og vi tenkte det kunne være lurt å bruke lukene under de tre resterende adventssøndagene før jul til å hinte om hvilken artikkel vi er ute etter i adventskalenderkonkurransen! Så, under luke 6 finner vi et hint om forfatterene av artikkelen!

Artikkelen er skrevet av to personer, begge er nok ikke kjente navn for de fleste.
Hovedforfatteren har forsket mye på abstrakt matematikk og teoretisk fysikk samt deres ofte intrikate samspill. Personen er veldig aktiv i en rekke blogger, da i hovedsak av matematisk natur, men også om hvordan forskere og ingeniører i alle fagfelter kan hjelpe til med verdens klimakrise.
Hovedforfatteren er også kjent for å ha skapt en index for å bestemme troverdigheten til en forskers påstander.

Kanskje dette er nok for noen til å finne ut hvilken artikkel vi er ute etter? Kanskje trengs også neste hint, som kommer neste søndag i advent

Luke 5

Bak luke 5 finner vi en av de viktigste moderne formalismene som ofte brukes til å forstå matematiske objekter, altså kategorier!

Denne formalismen er laget for å studere matematiske objekter i ulike kontekster, altså å plassere en type ting sammen med alle andre ting av samme type og studere hvordan hele nettverket henger sammen. Denne teorien er også aktivt brukt i datavitenskap, spesielt for å strukturere programspråk.

Under finner du en veldig basic introduksjonsvideo, en litt mer detaljert introduksjonsvideo og til sist notatene fra introduksjonsforedraget til FagKoms kategoriteoriseminar som ble holdt i fjor høst.

Luke 4

Bak fjerde luke finner vi den moderne formalismen som brukes for å forstå fysikk på de minste lengdeskalaene, nemlig kvantefeltteori!

Denne teorien beskriver de fundamentale partiklene som bygger opp alt vi kjenner som eksitasjoner i universutspennende kvantefelter.

For å forstå litt bedre hva disse feltene er og hvordan man kan bruke de til å forstå partikler har vi lenket to videoer m visualisering, og en introduksjonsartikkel til nettopp teorien om kvantefelter.

Luke 3

Bak luke 3 finner vi det viktigste redskapet en matematiker har, nemlig beviset!

Et bevis er en systematisk metode for å verifisere eller avkrefte en matematisk påstand, og er fundamentet for hvordan matematikken som et fagfelt drives videre. Det meste av matematisk forskning går i hovedsak ut på å bruke beviser til å utforske og lære mer om hva som er sant og usant i matematikkens verden.

Det finnes ulike måter å strukturere og legge frem et bevis på, og det finnes ulike logiske steg som må gjennomføres for å ha et fullstendig bevis i den bevisteknikken man har valgt. Under finner du lenket to enkle introduksjoner til de viktigste bevisteknikkene som matematikere verden over bruker for å presse randen av kunnskap utover, og utvide horisonten av hva vi kan vite og forstå.

Luke 2

Det vi finner bak luke to er et konsept som dukker opp i mange grener av matematikken og fysikken, nemlig Hilbert-rom!

Et Hilbert-rom er et vektorrom der man i tillegg har et indreprodukt, slik som for eksempel dot-produktet i Euklidske rom. Dette indreproduktet må også kunne brukes til å måle avstander og vinkler i vektorrommet vårt på en fin måte. I tillegg må vektorrommet inneholde grensen av alle fine konvergerende følger, slik at det ikke blir noe tull med grenseverdier. Altså er et Hilbert-rom en generalisering av Euklidske rom, som vi allerede kjenner godt fra lineær algebra!

Disse rommene har akkurat nok struktur til å kunne gi ekstremt nyttige og interessante resultater, samtidig som kravene for å være et Hilbert-rom er løse nok til at det kan dekke mange forskjellige felter. Teorien rundt Hilbert-rom og Hilbert-rommets lillebror, Banach-rom, utvikles i fagfeltet funksjonalanalyse, men disse rommene dukker opp i alt fra analyse av differensiallikninger og ergodeteori til kvantemekanikk og frekvensanalyse. Der utvikles mange spennende verktøy og teoremer om Hilbert-rom, slik som for eksempel Riesz-Fréchet-teoremet, som sier at dualrommet til ethvert Hilbert-rom kan assosieres med Hilbert-rommet selv, altså at alle funksjonaler (fine funksjoner) kan realiseres som et indreprodukt med et gitt element.

Vedlagt finner man en kort historisk utgreining om Hilbert-rom, en kort introduksjon og en litt lenger artikkel om hvordan riggede Hilbert-rom brukes i kvantemekanikk for å formalisere flere konsepter slik som Diracs Bra-Ket-notasjon!

Luke 1

Det er endelg desember og det betyr at adventskalenderen er i gang. Under første luke ligger det Feynman diagrammer!

Disse er veldig nyttige verktøy for å enkelt beskrive interaksjoner mellom partikler i kvantefysikken. For å starte kalenderen litt enkelt har vi først lagt ved en koslig introduksjonsvideo, så en litt mer ordentlig introduksjon (fortsatt noe populærvitenskapelig), så en rigorøs introduksjonsartikkel og til sist et historisk overblikk om hvordan Feynman diagrammer har hjulpet utviklingen av partikkelfysikken.

Man velger selvsagt hva man vil lese/se selv, det er ingen nødvendig rekkefølge her.